Պարապմունք 57 պյութագորասի թեորեմը

Պյութագորասի թեորեմայի մի քանի ապացույցներ:

1․ Լուծել խնդիրը և գծել գծագիրը։

ABC եռանկյան CD բարձրության D հիմքը գտնվում է AB կողմի վրա, ընդ որում՝ AD=BC: Գտեք AC -ն, եթե AB=3 , իսկ CD=√3:

2․ Լուծել խնդիրը և գծել գծագիրը։

Ուղղանկյուն սեղանի հիմքեը 9սմ և 18սմ են, իսկ մեծ սրունքը 15սմ: Գտեք սեղանի մակերեսը:

Կառուցենք ABCD trapezoid-ի CH բարձրությունը։

Քանի որ trapezoid-ը ուղղանկյուն է, իսկ CH-ը նրա բարձրությունն է, ապա ABCN քառանկյունը ուղղանկյուն է, իսկ DSN եռանկյունը՝ ուղղանկյուն։

AN = BC = 9 սմ, ապա DN = AD – AN = 18 – 9 = 9 սմ:

SDN ուղղանկյուն եռանկյունում, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, CH2 = SD2 – DN2 = 225 – 81 = 144:

H = 12 սմ:

Եկեք որոշենք trapezoid- ի տարածքը:

Savsd = (BC + BP) * CH / 2 = (9 + 18) * 12 / 2 = 162 սմ 2:

Պատասխան. Տրապիզոնի մակերեսը 162 սմ2 է։


3․ Լուծել խնդիրը և գծել գծագիրը։

Զուգահեռագծի անկյունագծերից մեկը նաև նրա բարձրությունն է: Գտեք այդ բարձրությունը, եթե զուգահեռագծի պարագիծը 50 սմ է, իսկ կից կողմերի տարբերությունը ՝ 1 սմ:

4․ Գտնել AC կողմը.

5. Գտնել նկարում պատկերված եռանկյունների անհայտ կողմերը․

6. Ուղղանկյուն եռանկյան մի էջը 7 մ է, իսկ ներքնաձիգի և մյուս էջի գումարը 49 մ է: Գտնել ներքնաձիգը և էջը։

7․ Տան տանիքին և փողոցի լապտերի սյան վրա գտնվում են երկու աղավնի: Կարինեն տան մոտ մի քիչ ցորեն լցրեց: Երկու աղավնիները միաժամանակ, նույն արագությամբ թռան դեպի ցորենը և միաժամանակ տեղ հասան:

Հաշվել, թե տնից ի՞նչ հեռավորության վրա Կարինեն լցրեց ցորենը, եթե հայտնի է, որ տան բարձրությունը 4 մ է, սյան բարձրությունը՝ 3 մ, և սյունը գտնվում է տնից 7 մ հեռավորության վրա:

Ցուցում: Պահանջվող հեռավորությունը նշանակել x -ով:
Один голубь сидел на крыше дома и один на фонаре. Девочка рассыпала зерно возле дома. Два голубя одновременно взлетели и с одинаковой скоростью одновременно достигли зерна. Вычiсли, на каком расстоянии от дома девочка рассыпала зерно, если известно, что высота дома 9 м, а высота фонаря 6 м. Фонарь находится в 25 м от дома.

По теореме Пифагора находим длину гипотенуз при условии что длинна катетов равна 6м и 25 м. и 9м и 25м:

6^2+25^2=х^2

9^2+25^2=у^2

х=25,7

у=26,5, где х и у — гипотенузы.

Разница в длине гипотенуз 26,5-25,7= 0,8.

Далее мы делим длину катета (тот, что 25 м) на 2 и получаем 12,5.

Теперь мы находим расстояние от фонаря до корма: 12,5 + 0,8 = 13,3 м.

И расстояние от дома до корма 12,5 — 0,8 = 11,7 м.

Голуби пролетят по 14,5 м. каждый.

Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 13 դմ և 25 դմ երկարություններով հատվածներ են: Փոքր սրունքը 9 դմ է: Հաշվել սեղանի մեծ սրունքը:

BK=AD=9դմ
KC=25-13=12դմ
BC²=BK²+KC²=9²+12²=81+144=225դմ
BC=15

2.Основание прямоугольной трапеции 9 см и 18 см, большая боковая сторона 15 см. Найдите площадь поверхности трапеции.

Построим высоту СН трапеции АВСД.
Так как трапеция прямоугольная, а СН ее высота, то четырехугольник АВСН прямоугольник, а треугольник СДН прямоугольный.
АН = ВС = 9 см, тогда ДН = АД – АН = 18 – 9 = 9 см.
В прямоугольном треугольнике СДН, по теореме Пифагора, СН² = СД² – ДН² = 225 – 81 = 144.
Н = 12 см.
Определим площадь трапеции.
Sавсд = (ВС + АД) * СН / 2 = (9 + 18) * 12 / 2= 162 см².
Ответ: Площадь трапеции равна 162 см².

25

Շրջանագծի և ուղղի փոխադարձ դասավորությունը

Շրջանագիծն ու ուղիղը կարող են հատվել, կամ՝ ոչ: Հատվելիս նրանք կարող են ունենալ մեկ կամ երկու ընդհանուր կետեր: 

1. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից մեծ է շրջանագծի շառավղից, ապա շրջանագիծն ու ուղիղը ընդհանուր կետեր չունեն:

d>r դեպքում ուղիղը և շրջանագիծը ընդհանուր կետ չունեն:

2. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից փոքր է շրջանագծի շառավղից, ապա շրջանագիծն ու ուղիղն ունեն երկու ընդհանուր կետեր:

d<r այս դեպքում ուղիղն ու շրջանագիծը ունեն երկու ընդհանուր կետեր: Այդ դեպքում ուղիղն անվանում են շրջանագծի հատող:

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի երկու ընդհանուր կետեր, ապա այն կոչվում է շրջանագծի հատող:

3. Եթե շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն ուղղից հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա շրջանագիծն ու ուղիղն ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

d=r դեպքում ուղիղը և շրջանագիծը ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

Ճիշտ են արդյո՞ք հետևյալ պնդումները:

1. Եթե ուղիղը շրջանագծի շոշափողն է, ապա այն ունի շրջանագծի հետ երկու ընդհանուր կետ:

այո

2. Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի ընդհանուր կետ, ապա այն հանդիսանում է շրջանագծի հատող:
ոչ

3. Ուղիղն ու շրջանագիծը կարող են ունենալ միայն երկու ընդհանուր կետ:

Ոչ։

4.Ո՞ր ուղիղն է կոչվում շրջանագծին հատող:

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի երկու ընդհանուր կետեր, ապա այն կոչվում է շրջանագծի հատող:

5.Ո՞ր ուղիղն է կոչվում շրջանագծի շոշափող: 

Եթե ուղիղը շրջանագծի հետ ունի մեկ ընդհանուր կետ, ապա այն կոչվում է շրջանագծի շոշափող:

6.Ո՞ր կետն է կոչվում շրջանագծի և ուղղի շոշափման կետ:

Շրջանագծի և ուղղի շոշափման կետ կոչվում է իրենց ընդհանուր կետը։

7. Դիցուք՝ d-ն r շառավղով շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունն է p ուղղից: Ինչպե՞ս են միմյանց նկատմամբ դասավորված շրջանագիծը և p ուղիղը, եթե՝

ա) r=18 սմ, d=13 սմ,Նրանք ունեն երկու ընդհանուր կետբ) r=6 սմ, d=5,6 սմ,Նրանք ունեն երկու ընդհանուր կետգ) r=7,2 սմ, d=3,7 դմ,Նրանք ընդհանուր կետ չունենդ) r=9 սմ, d=1,3 դմ,Նրանք ընդհանուր կետ չունենե) r=6 սմ, d=60 մմ:Նրանք ունեն մեկ ընդհանուր կետ

8. ABC եռանկյան մեջ AB=10սմ, ∠C=900, ∠B=300: Պահանջվում է տանել A կենտրոնով շրջանագիծ: Ինչպիսի՞ն պետք է լինի այդ շրջանագծի շառավիղը, որպեսզի BC ուղիղը՝

ա) շոշափի շրջանագիծը,Պետք է 5սմ լինի։

բ) շրջանագծի հետ չունենա ընդհանուր կետ,Պետք է 5սմ-ից փոքր լինի։

գ) շրջանագծի հետ ունենա ընդհանուր կետեր:

Պետք է 5սմ-ից մեծ լինի։

9.Տրված է ABCD քառակուսին, որի անկյունագիծը 6 սմ է: Տանել շրջանագիծ, որի կենտրոնը լինի A–ն: Ի՞նչ երկարություն պետք է ունենա շրջանագծի շառավիղը, որպեսզի BD անկյունագիծն ընդգրկող ուղիղը լինի՝ 

ա) շրջանագծի շոշափող

Շրջանագծի շառավիղը պետք է լինի 3սմ։

 բ) շրջանագծի հատող:

Շրջանագծի շառավիղը պետք է լինի 3-ից մեծ:

10. AB և CD հատվածները O կենտրոնով շրջանագծի տրամագծեր են: Հաշվեք AOD եռանկյան պարագիծը, եթե հայտնի է, որ CB = 15 սմ, AB = 14 սմ:

AOD = 29սմAOD + BOD = 30սմBOD = 1սմ։

Պարապմունք 9.
Թեմա՝ Զուգահեռագիծ

1.Զուգահեռագծի անկյուններկց մեկը  55° է: Գտիր զուգահեռագծի մյուս անկյունները:
55+55=110
360-110=250
250:2=125

2. Զուգահեռագծի մի կողմը 29 սմ է, իսկ մյուս կողմը 7 սմ-ով մեծ է նրանից: Գտիր զուգահեռագծի պարագիծը:
29+7=36
36,36,29,29

3. Զուգահեռագծի կողմերը 10 և 15 են։ Գտիր Զուգահեռագծի պարագիծը:
10+10+15+15=50

4. Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը մյուսից մեծ է 30 աստիճանով։ Գտիր զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

360-60=300
300:4=75
75,75,105,105

5. ABCD զուգահեռագծի մեջ օ-ն զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է։ AOD եռանկյան պարագիծը հավասար է 25սմ, AC=16սմ, BD=14 սմ։ Գտի՛ր  BC-ն։
10

6. ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է։ Ապացուցեք, որ եռանկյուն ABC հավասար է եռանկյուն ACD-ին։

քանի որ կողմերը հավասարեն եռանկյունիները նույնպես հավասարեն

7. ABCD զուգահեռագծի А անկյունը  2  անգամ փոքր է B անկյունից։ Գտեք զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։
120,120,60,60

8.ABCD զուգահեռագծի մեջ օ-ն զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է։  Գտեք BO և ОC-ն, եթե BD=12, AC=17:
12,17

9. ABCD զուգահեռագծի  A անկյան  կիսորդը  BC հատվածում հատում է k կետում  և տրոհում է  15 սմ  և 9սմ  հատվածների ։Գտի՛ր զուգահեռագծի պարագիծը ։
78

10. Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 100 աստիճան է:

360-100:2=130